Информацию предоставил eugene.s
Оригинал сообщения и обсуждение здесь

Проблема решена:

(1) Тестируем работу датчика дождя (мануал):


В моем случае необходимости в таком тестировании не было, ибо все было проверено на ходу в дождь: датчик дождя заведомо работал, но регулировка чувствительности не работала.

(2) Раз датчик работает, значит, дело в каком-то другом компоненте системы (мануал):


Смотрим на прокладку датчика дождя. Видны явные дефекты:


Значит, будем менять прокладку.

(3) Покупаем ее и снимаем датчик дождя:



(4) Отлепляем от стекла предыдущую прокладку и обезжириваем поверхность лобового стекла перед установкой новой прокладки. Подойдет любой обезжириватель.



(5) Обезжириваем область датчика, куда клеится прокладка, приклеиваем туда новую прокладку и собираем все обратно:



Вся процедура заняла минут 15. Все очень просто, пожалуй, единственная сложность была в том, чтобы прилепить прокладку именно в ту зону датчика, где она и должна находиться, и не оставить пузырьков воздуха. Получилось с пятой попытки. Небольшие пузырьки все равно осталось, но это не беда, проблема решена, все теперь работает, как надо.